Daugelis studentų, studijuojančių aukštąją matematiką vyresniais metais, tikriausiai stebėjosi: kur praktikoje taikomos diferencialinės lygtys (DE)? Paprastai šis klausimas nėra svarstomas paskaitose, o dėstytojai nedelsdami pereina prie DE sprendimo, nepaaiškindami studentams diferencialinių lygčių taikymo realiame gyvenime. Pabandysime užpildyti šią spragą.
Pradėkime nuo diferencialinės lygties apibrėžimo. Taigi, diferencialinė lygtis yra lygtis, jungianti funkcijos išvestinės vertę su pačia funkcija, nepriklausomo kintamojo reikšmėmis ir kai kuriais skaičiais (parametrais).
Dažniausia diferencialinių lygčių taikymo sritis yra gamtos reiškinių matematinis aprašymas. Jie taip pat naudojami sprendžiant problemas, kai neįmanoma nustatyti tiesioginio ryšio tarp kai kurių procesą apibūdinančių vertybių. Tokios problemos kyla biologijoje, fizikoje, ekonomikoje.
Biologijoje:
Pirmasis prasmingas matematinis modelis, apibūdinantis biologines bendrijas, buvo Lotka - Volterra modelis. Jis apibūdina dviejų sąveikaujančių rūšių populiaciją. Pirmasis iš jų, vadinamas plėšrūnais, nesant antrojo, miršta pagal įstatymą x ′ = –ax (a> 0), o antrasis - grobis - nesant plėšrūnų neribotai dauginasi pagal įstatymą iš Malthuso. Šių dviejų tipų sąveika modeliuojama taip. Aukos miršta tokiu greičiu, kuris yra lygus plėšrūnų ir grobio susitikimų skaičiui, kuris šiame modelyje laikomas proporcingu abiejų populiacijų dydžiui, t. Y. Lygus dxy (d> 0). Todėl y ′ = pagal - dxy. Plėšrūnai dauginasi greičiu, proporcingu suvalgyto grobio skaičiui: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Lygčių sistema
x ′ = –ax + cxy, (1)
y '= pagal - dxy, (2)
plėšrūnas-grobis, apibūdinantis tokią populiaciją, vadinamas Lotka-Volterra sistema (arba modeliu).
Fizikoje:
Antrasis Niutono dėsnis gali būti parašytas diferencialinės lygties pavidalu
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kur m yra kūno masė, x yra jo koordinatė, F (x, t) - jėga, veikianti kūną, kurio koordinatė x laiko momentu t. Jo sprendimas yra kūno trajektorija veikiant nurodytai jėgai.
Ekonomikoje:
Natūralaus produkcijos augimo modelis
Darysime prielaidą, kad kai kurie produktai parduodami už fiksuotą kainą P. Tegu Q (t) žymi produktų, parduotų tuo metu, kiekį; tada šiuo momentu pajamos yra lygios PQ (t). Tegu dalis nurodytų pajamų išleidžiama investicijoms į parduodamų produktų gamybą, t.
I (t) = mPQ (t), (1)
kur m yra investavimo norma - pastovus skaičius ir 0
